Maximum Likelihood Estimation(MLE)

Likelihood란?

Likelihood는 관측치가 어떤 특정한 분포(Distribution)에서 나왔을 가능성을 수치화한 것이다.

획득한 데이터와 추정되는 후보 분포 2개(각각 주황색, 파란색 곡선으로 표시) - 출처 : 공돌이의 수학노트

위의 그림에서 봤을 때 관측치는 파란색 분포보다 주황색 분포에서 나왔을 가능성이 더 높다.

이를 수학적인 방법으로 분포의 특성을 추정하는 방법이 Maximum Likelihood Estimation이다.

 

 

Maximum Likelihood Estimation(MLE)란?

수적인 데이터 밀도 추정 방법으로써 파라미터 $\theta = (\theta_1, ... , \theta_m)$으로 구성된 어떤 확률밀도함수 $P(x|\theta)$에서 관측된 표본 데이터 집합을 $x = (x_1, ..., x_m)$이라 할 때, 이 표본들에서 파라미터 $\theta = (\theta_1, ... , \theta_m)$를 추정하는 방법이다.

 

MLE의 수식은 다음과 같다

$$L(\theta) = P(X|\theta) = P(x_{1}|\theta) \cdot P(x_{2}|\theta) \dotsm P(x_{n}|\theta)$$

 

MLE의 목적?

MLE의 목적은 데이터 분포를 맞추기 위한 최적의 방법을 찾는 것이다.

 

예를 들어

 

1. Normal Distribution : 평균($\mu$)과 표준편차($\sigma$)를 가지는 연속 확률 분포
2. Exponential Distribution : x가 0보다 클 시 $\lambda e^{-\lambda x}$ 확률을 가지는 연속 확률 분포
3. Gamma Distribution : 양의 실수를 가지는 랜덤 변수에 대한 확률 분포

 

이렇게 데이터의 분포를 찾는 이유는 작업하기 쉬우며, 더 일반적(General)이기 때문이다.

 

데이터가 정규 분포(Normal Distribution)을 가진다고 가정해 보자.

 

그렇다면 이 데이터는

1. 대부분의 관측치가 데이터의 평균값에 가깝다.
2. 관측치가 평균을 중심으로 대칭이며 어느 한 곳으로 치우치는 경향이 적다.

하는 특징이 있는 데이터라는 사실을 알 수 있다.

 

• Likelihood는 실제에선 Probability와 큰 차이가 없게 사용되는 단어이지만 실제 likelihood는 관측치의 평균 혹은 표준 편차의 최적값을 찾는 상황에서 데이터를 어떤 분포에 부합하기 위한 방법으로 사용된다.

 

※ Likelihood Functions

Likelihood라는 것은 데이터를 얻은 분포에서 해당 분포로부터 관측치가 추출되었을 확률을 모두 곱해준 값을 likelihood function이라고 한다.

 

이는 모든 추출이 독립적이기 때문에 더하지 않고 곱하여 구해주는 것이다.

 

- Likelihood Function : $l(\theta|X) = p(X|\theta) = \Pi_{t}  p(x^t|\theta)$

- Log Likelihood Function : $L(\theta|X) = log l(\theta|X) = \sum_{t} log  p(x^t|\theta)$

 

여기서 MLE는 Likelihood function의 최대값을 찾아주는 방법이며 찾고자 하는 파라미터 $\theta$에 대해 편미분한 값이 0이 되는 지점을 찾아 likelihood 값을 최대화 시켜줄 수 있는 $\theta$를 찾을 수 있다.

 

 

※ 지도 학습에서의 적용

예를 들어 이진 분류(binary classification) 문제를 생각해보자.

입력 변수를 x, 두 개의 클래스(양성, 음성이라 해보자)로 표현되는 라벨을 y라고 하며 모델의 파라미터를 $\beta$라고 한다면

 

주어진 x에 대해 각 클래스에 속할 확률을 모델링하는 likelihood function은 다음과 같이 구성된다.

$$Likelihood(x,y|\beta) = P(y|x,\beta)$$

 

여기서

• x : 입력 변수(feature)을 의미하며, 주어지는 데이터 값이다.
• y : 이진 라벨을 의미하며, 주어지는 데이터 값이다.
• $\beta$ : 모델의 파라미터(가중치와 절편)을 의미한다.

전체 데이터에 대한 MLE 수식은 다음과 같이 표현된다.

$$Likelihood(X|\beta) = \Pi[P(y|x,\beta)]$$

 

여기서 $P(y|x,\beta)$는 로지스틱 함수인 시그모이드 함수로 표현되며

$$P(y=1|x,\beta) = \frac{1}{(1+e^{-\beta \cdot x})} = 1-P(y=0|x,\beta)$$

 

이렇게 likelihood 함수의 최대값을 찾는 것이 MLE의 목적이며 보통 로그를 취해 덧셈으로 치환하여 계산을 단순화하기 때문에

$$Log-Likelihood(X|\beta) = \sum[logP(y|x,\beta)]$$

 

여기서 log likelihood를 최대화시키는 $\beta$를 구하기 위해 최적화 알고리즘을 사용하게 된다.

이렇게 구한 파라미터를 활용해 로지스틱 회귀 모델을 학습시키고, 새로운 입력에 대한 클래스에 속할 확률을 구할 수 있게 된다.

 

 

참조

https://angeloyeo.github.io/2020/07/17/MLE.html

최대우도법(MLE) - 공돌이의 수학정리노트

https://junha1125.tistory.com/24

최대 우도(가능도) 방법 (Maximum Likelihood Method)